কোণানুপাতের ধারণা

    আগের দিন আমরা কোণ সম্বন্ধে জেনেছি। সেখানে দেখেছি একটি রশ্মি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে অথবা ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরে একটি কোণ উৎপন্ন করেছে। যদি ধরে নিই OX রশ্মি O বিন্দুকে স্থির করে, ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরে OX' অবস্থানে এসে ∠XOX' বা θ কোণ উৎপন্ন করেছে। 

    এখন OX' রেখার উপর যে কোনো একটি বিন্দু P নিলাম এবং P থেকে OX এর উপর PN লম্ব আঁকিলাম। তাহলে  θ কোণের সাপেক্ষে OP রেখাংশকে আমরা অতিভুজ বলবো। PN রেখাংশকে লম্ব এবং ON রেখাংশকে ভূমি বলবো। 

    আমরা যদি অন্য ভাবে ভাবি, তাহলে দেখবো  ∆ABC সমকোণী ত্রিভুজে ∠BAC কোণের সাপেক্ষে 

AC =  অতিভুজ (সমকোণের বিপরীত বাহু) 

BC =  লম্ব (উক্ত কোণের বিপরীত বাহু)

AB = ভূমি (তৃতীয় বাহু)  

    আবার ∆LMN সমকোণী ত্রিভুজে ∠MLN কোণের সাপেক্ষে 

LN = অতিভুজ 

MN = লম্ব 

LM = ভূমি 

    একইভাবে ∆PQR সমকোণী ত্রিভুজে ∠QPR কোণের সাপেক্ষে 

PR = অতিভুজ 

QR = লম্ব 

PQ = ভূমি 

    এরপর আমরা উপরের ত্রিভুজ গুলিতেই যথাক্রমে ∠ACB, ∠LNM এবং ∠PRQ কোণের সাপেক্ষে অতিভুজ, লম্ব এবং ভূমি কত হবে তা নির্ণয় করার চেষ্টা করবো। খাতায় ত্রিভুজগুলি এঁকে নিয়ে কোণগুলিকে চিহ্নিত করবো এবং নিচে কোন্ কোন্ বাহু অতিভুজ, লম্ব বা ভূমি হবে তা লিখবো। 

    সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে যেমন লম্ব, ভূমি বা অতিভুজ শিখেছিলাম, তা এখন একটি মাত্র কোণের ক্ষেত্রেও হিসাব করতে পারি। এখন আমরা কতকগুলি কোনানুপাত শিখব। 

Sineθ ≈ Sinθ = θ কোণের সাপেক্ষে লম্ব / θ কোণের সাপেক্ষে অতিভূজ 

Cosineθ ≈ Cosθ = θ কোণের সাপেক্ষে ভূমি / θ কোণের সাপেক্ষে অতিভূজ 

Tangentθ ≈ Tanθ = θ কোণের সাপেক্ষে লম্ব / θ কোণের সাপেক্ষে ভূমি 

Cotangentθ ≈ Cotθ = θ কোণের সাপেক্ষে ভূমি / θ কোণের সাপেক্ষে লম্ব 

Secantθ ≈ Secθ = θ কোণের সাপেক্ষে অতিভূজ / θ কোণের সাপেক্ষে ভূমি 

Cosecantθ ≈ Cosecθ = θ কোণের সাপেক্ষে অতিভূজ / θ কোণের সাপেক্ষে লম্ব 

কোনানুপাতগুলি লেখার সময় একটা বিষয়ে সতর্ক হওয়া জরুরী। Sin বা Cos বা Tan এর কিন্তু কোনো অর্থ হয় না। এরা প্রত্যেকে কোনো একটি কোণের আগে বসলে, তা একটি অনুপাত সংখ্যা নির্দেশ করে। যা সব সময় কোণটির সাপেক্ষে নির্দিষ্ট হয়। তাই Sin এবং θ এর মাঝে ভুল করেও পেনের কোন দাগ পড়ে গেলে, সঙ্গে সঙ্গে পুরোটা কেটে দিয়ে নতুন করে লেখা। এর অন্যথা হলে পরীক্ষায় নাম্বার কমবে। 

    এখানে আমরা নতুন একটা ঘটনা দেখবো। কোন একটি কোণের একটি কোনানুপাত দেওয়া থাকলে, অন্য সবকটি কোনানুপাত নির্ণয় করতে পারবো। প্রথমেই 

Sin²θ + Cos²θ 

= (θ কোণের সাপেক্ষে লম্ব / θ কোণের সাপেক্ষে অতিভূজ)² + (θ কোণের সাপেক্ষে ভূমি / θ কোণের সাপেক্ষে অতিভূজ)² 

= লম্ব² / অতিভূজ² + ভূমি² / অতিভূজ² 

= ( লম্ব² + ভূমি² ) / অতিভূজ² 

= অতিভূজ² / অতিভূজ² 

= 1 

    একইভাবে Sec²θ - Tan²θ = 1 এবং 

Cosec²θ - Cot²θ = 1 নির্ণয় করতে পারি। 

    এই তিনটি নিয়ম থেকেই আমরা আরও বিভিন্ন নিয়ম তৈরী করে রাখতে পারি। 

Sin²θ + Cos²θ = 1 

বা Sin²θ = 1 - Cos²θ 

বা Sinθ = √(1 - Cos²θ) 

Sin²θ + Cos²θ = 1 

বা Cos²θ = 1 - Sin²θ 

বা Cosθ = √(1 - Sin²θ) 

Sec²θ - Tan²θ = 1 

বা Sec²θ = 1 + Tan²θ 

বা Secθ = √(1 + Tan²θ) 

Sec²θ - Tan²θ = 1 

বা Tan²θ = Sec²θ - 1 

বা Tanθ = √(Sec²θ - 1 ) 

Cosec²θ - Cot²θ =1 

বা Cosec²θ = 1 + Cot²θ 

বা Cosecθ = √(1 + Cot²θ) 

Cosec²θ - Cot²θ =1 

বা Cot²θ = Cosec²θ - 1 

বা Cotθ = √(Cosec²θ - 1) 

    আমরা যদি আরেকটু ভালোভাবে লক্ষ্য করি তাহলে দেখবো 

Sinθ = 1/Cosecθ 

Cosθ = 1/Secθ 

Tanθ = 1/Cotθ 

Cotθ = 1/Tanθ 

Secθ = 1/Cosθ 

Cosecθ = 1/Sinθ 

    আবার অন্যভাবে দেখলে 

Sinθ = Tanθ/Secθ 

Cosθ = Cotθ/Cosecθ 

Tanθ = Sinθ/Cosθ 

Cotθ = Cosθ/Sinθ 

Secθ = Cosecθ/Cotθ 

Cosecθ = Secθ/Tanθ 

    এবারে আমরা দেখবো Sinθ = x হলে, কিভাবে অন্য কোণানুপাতগুলি নির্ণয় করা যায়। 

Sinθ = x 

Cosθ = √(1 - Sin²θ) = √(1 - x²) 

Tanθ = Sinθ / Cosθ = x / √(1 - x²) 

Cotθ = 1/Tanθ = √(1 - x²) / x 

Secθ = 1/Cosθ = 1 / √(1 - x²) 

Cosecθ = 1/Sinθ = 1 / x 

    তাহলে Sinθ -র মান দেওয়া থাকলে অন্য সব কটি কোণানুপাত নির্ণয় করা খাতায় অনুশীলন করে নেবে। হয়ে গেলে Cosα = y বা Tanψ = z থেকেও নিচের মত করে চেষ্টা করবে। 

Cosα = y 

Sinα = √(1 - Cos²α) = √(1 - y²) 

Tanα = Sinα / Cosα = √(1 - y²) / y 

Cotα = 1/Tanα = y / √(1 - y²) 

Secα = 1/Cosα = 1 / y 

Cosecα = 1/Sinα = 1 / √(1 - y²) 

Tanψ = z 

Cotψ = 1/Tanψ = 1 / z

Secψ = √(1 + Tan²ψ) = √(1 + z²) 

Cosψ = 1/Secψ = 1 / √(1 + z²) 

Cosecψ = √(1 + Cot²ψ) = √(1 + z²) / z 

Sinψ = 1/Cosecψ = z / √(1 + z²)