উৎপাদকে বিশ্লেষণ

উৎপাদকে বিশ্লেষণ 

      গণিতে উৎপাদকে বিশ্লেষণ বা উৎপাদকীকরণ বলতে একটি সংখ্যা বা কোনো গাণিতিক বস্তুকে কয়েকটি উৎপাদকের গুণফল রূপে প্রকাশ করাকে বুঝায়। যা সাধারণত একই ধরনের ক্ষুদ্রতর বা সরলতর বস্তু হিসেবে দেখা হয়ে থাকে। উদাহরণ স্বরূপ পূর্ণসংখ্যা 15 এর বিশ্লেষিত রূপ হল 3×5 ; এবং 

বহুপদী সংখ্যামালার একটি বিশ্লিষ্ট রূপ 

(x + 2)(x - 2) 

      সাধারণত বাস্তব কিংবা জটিল সংখ্যার ভগ্নাংশকে উৎপাদক হিসাবে গ্রহণ করা মূলত অর্থহীন। যেহেতু স্পষ্টতই কোন সংখ্যা x কে (xy)×(1/y) হিসাবে লেখা যায়, যেখানে 

তাই যে কোনো মূলদ সংখ্যা কিংবা মূলদ ফাংশনের লঘিষ্ঠ রূপ লিখে তার হর এবং লবকে পৃথকভাবে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে, মূল সংখ্যা বা ফাংশনটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা হয়। 

      পূর্ণসংখ্যাকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ সর্বপ্রথম প্রাচীন গ্রিক গণিতবিদদের মধ্যে দেখা যায়। তারা সর্বপ্রথম পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য প্রমাণ করেন। যার বক্তব্য হল-  

      প্রত্যেকটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যাকে এক বা একাধিক মৌলিক সংখ্যার গুণফল রূপে প্রকাশ করা যাবে, যা পুনরায় আর 1 এর চেয়ে বড় কোন পূর্ণসংখ্যা দ্বারা প্রকাশ করা সম্ভব হবে না। 

      এই উৎপাদকে বিশ্লেষণ উৎপাদকগুলো ক্রমকে উপেক্ষা করলে, প্রত্যেকটি সংখ্যার জন্য অনন্য। 

      পূর্ণ সংখ্যা:- 

      পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য অনুযায়ী 1 এর চেয়ে বড় সকল পূর্ণসংখ্যার একটি অনন্য (উৎপাদকের ক্রম বিবেচনা না করে) মৌলিক সংখ্যার বিশ্লেষিত রূপ রয়েছে, যাকে আর বিশ্লেষণ করা যায় না। 

       পূর্ণ সংখ্যা n এর উৎপাদকে বিশ্লেষণের জন্য একটি উৎপাদক q নির্ণয় কিংবা n এর মৌলিকত্ব যাচাইয়ের জন্য একটি অ্যালগোরিদম প্রয়োজন। যদি এমন একটি উৎপাদক পাওয়া যায় তবে অ্যালগোরিদমটি পুনরায় q এবং n/q এর উপর প্রয়োগের মাধ্যমে ক্রমান্বয়ে n এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ পাওয়া যায়। 

      n এর একটি উৎপাদক q, যদি থাকে, খুঁজে পাওয়ার জন্য এটি সকল q এর মান পরীক্ষা করে যেন 

হয়। 

      যদি কেউ ক্রম বর্ধমান হারে q এর মান পরীক্ষা করতে থাকে, তবে প্রথমেই প্রাপ্ত উৎপাদকটি মৌলিক সংখ্যা হওয়া উচিত। 

      এই পদ্ধতি প্রয়োগের জন্য সকল q এর মান পরীক্ষা করার প্রয়োজন নেই। মূলনীতি অনুযায়ী, এটি শুধুমাত্র মৌলিক উৎপাদক সমূহকে গ্রহণ করে। এর ফলে একটি মৌলিক সংখ্যার সারণির প্রয়োজন হয়। যা ইরাটোস্থেনিসের ছাকনির মাধ্যমে প্রস্তুত করা সম্ভব। 

 

      উদাহরন হিসাবে দেখালে- 

মৌলিক সংখ্যার সাহায্যে n = 1386 কে বিশ্লেষণ এর জন্য-  

      i) যেহেতু সংখ্যাটি জোড় সংখ্যা, তাই 2 দ্বারা বিভাজ্য এবং 

n = 1386 

= 2 × 693 

সুতরাং 693 এবং 2 কে প্রাথমিক উৎপাদক হিসেবে ধরে নিয়ে অগ্রসর হই। 

      ii) যেহেতু 693 সংখ্যাটি বিজোড় সংখ্যা, তাই 2 দ্বারা বিভাজ্য নয়। 

      iii) 2 এর পরবর্তী মৌলিক সংখ্যা 3। 

      iv) যেহেতু 693 সংখ্যাটির অঙ্কগুলির সমষ্টি 

( 6 + 9 + 3 = 18 ) 3 দ্বারা বিভাজ্য, তাই 693 সংখ্যাটি 3 দ্বারা বিভাজ্য এবং 

n = 1386 

= 2 × 693 

= 2 × 3 × 231 

      v) যেহেতু 231 সংখ্যাটির অঙ্কগুলির সমষ্টি 

( 2 + 3 + 1 = 6 ) 3 দ্বারা বিভাজ্য, তাই 231 সংখ্যাটি 3 দ্বারা বিভাজ্য এবং 

n = 1386 

= 2 × 693 

= 2× 3 × 231

= 2 × 3 × 3 × 77 

      vi) যেহেতু 77 সংখ্যাটির অঙ্কগুলির সমষ্টি 

( 7 + 7 = 14 ) 3 দ্বারা বিভাজ্য নয়, তাই 77 সংখ্যাটি 3 দ্বারা বিভাজ্য নয়। 

      vii) 3 এর পরবর্তী মৌলিক সংখ্যা 5। 

      viii) 77 সংখ্যাটির শেষ অঙ্ক 5 অথবা 0 না হওয়ায় 5 দ্বারা বিভাজ্য নয়। 

      ix) 5 এর পরবর্তী মৌলিক সংখ্যা 7। 

      x) 77 সংখ্যাটি 7 দ্বারা বিভাজ্য এবং 

n = 1386 

= 2 × 693 

= 2 × 3 × 231 

= 2 × 3 × 3 × 77

= 2 × 3 × 3 × 7 × 11 

      xi) যেহেতু 

 

তাই কার্যক্রম সমাপ্ত হয়েছে। ফলে 11 একটি মৌলিক সংখ্যা। 

এবং মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ 

1386 = 2 × 3 × 3 × 7 × 11